【題目】某公司每月最多生產(chǎn)100臺警報系統(tǒng)裝置,生產(chǎn)x臺(x∈N*)的總收入為30x﹣0.2x2(單位:萬元).每月投入的固定成本(包括機械檢修、工人工資等)為40萬元,此外,每生產(chǎn)一臺還需材料成本5萬元.在經(jīng)濟學中,常常利用每月利潤函數(shù)P(x)的邊際利潤函數(shù)MP(x)來研究何時獲得最大利潤,其中MP(x)=P(x+1)﹣P(x). (Ⅰ)求利潤函數(shù)P(x)及其邊際利潤函數(shù)MP(x);
(Ⅱ)利用邊際利潤函數(shù)MP(x)研究,該公司每月生產(chǎn)多少臺警報系統(tǒng)裝置,可獲得最大利潤?最大利潤是多少?

【答案】解:(Ⅰ)由題意知,x∈[1,100],且x∈N*P(x)=R(x)﹣C(x)
=30x﹣0.2x2﹣(5x+40)
=﹣0.2x2+25x﹣40,
MP(x)=P(x+1)﹣P(x)
=﹣0.2(x+1)2+25(x+1)﹣40﹣[﹣0.2x2+25x﹣40]
=24.8﹣0.4x,
(Ⅱ)∵MP(x)=24.8﹣0.4x是減函數(shù),
∴當x=1時,MP(x)的最大值為24.40(萬元)
【解析】(Ⅰ)利用利潤是收入與成本之差,求利潤函數(shù)P(x),利用MP(x)=P(x+1)﹣P(x),求其邊際利潤函數(shù)MP(x);(Ⅱ)利用MP(x)=24.8﹣0.4x是減函數(shù),即可得出結論.

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