Question

18．在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，已知曲線C₁的極坐標方程是ρ=$\sqrt{2}$，把C₁上各點的縱坐標都壓縮為原來的$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$倍，得到曲線C₂，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x={x_0}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y={y_0}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出曲線C₁與曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀），直線l與曲線C₂交于A，B兩點，若|MA|•|MB|=$\frac{8}{3}$，求點M軌跡的直角坐標方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁的極坐標方程是ρ=$\sqrt{2}$，可得直角坐標方程：x²+y²=2．設(shè)點P（x′，y′）是曲線C₂上任一點，則$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=x\\{y^'}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}y\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x={x^'}\\ y=\sqrt{2}{y^'}\end{array}\right.$，代入曲線C₁即可得出．
（II）由直線l與曲線C₂相交可得：$\frac{{3{t^2}}}{2}+\sqrt{2}t{x_0}+2\sqrt{2}t{y_0}+x_0^2+2y_0^2-2=0$，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其|MA|•|MB|=$\frac{8}{3}$，可得點M軌跡的直角坐標方程．再利用△≥0即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的極坐標方程是ρ=$\sqrt{2}$，可得直角坐標方程：x²+y²=2．
設(shè)點P（x′，y′）是曲線C₂上任一點，則$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=x\\{y^'}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}y\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x={x^'}\\ y=\sqrt{2}{y^'}\end{array}\right.$，
代入曲線C₁可得：（x′）²+2（y′）²=2，
∴曲線C₂的直角坐標方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（II）由直線l與曲線C₂相交可得：$\frac{{3{t^2}}}{2}+\sqrt{2}t{x_0}+2\sqrt{2}t{y_0}+x_0^2+2y_0^2-2=0$，
$|MA|•|MB|=\frac{8}{3}$$⇒|\frac{x_0^2+2y_0^2-2}{{\frac{3}{2}}}|=\frac{8}{3}$，即：$x_0^2+2y_0^2=6$，x²+2y²=6表示一橢圓，
取y=x+m代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得：3x²+4mx+2m²-2=0，
由△≥0得$-\sqrt{3}≤m≤\sqrt{3}$，
故點M的軌跡是橢圓x²+2y²=6夾在平行直線$y=x±\sqrt{3}$之間的兩段�。�

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．