Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）的圖象的相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{8}$）的值，
（Ⅱ）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的范圍，
（Ⅲ）求函數(shù)y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的最大值及對應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 利用兩角差的正弦化簡，再由已知求得ω與φ的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅰ）在函數(shù)解析式中取x=$\frac{π}{8}$求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（Ⅱ）作出函數(shù)f（x）=2cos2x，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]的圖象，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)g（x）=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的范圍；
（Ⅲ）求出函數(shù)y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$），利用輔助角公式化積后可得函數(shù)的最大值及對應(yīng)的x的值．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）．
∵函數(shù)y=f（x）的圖象的相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，即T=π，則$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$．
∴f（x）=2sin（2x+φ-$\frac{π}{6}$）．
又f（x）為偶函數(shù)，∴φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，即φ=$\frac{2π}{3}+kπ$，k∈Z．
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{2π}{3}$，
則f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
（Ⅰ）f（$\frac{π}{8}$）=2cos（2×$\frac{π}{8}$）=2cos$\frac{π}{4}$=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$；
（Ⅱ）作出函數(shù)f（x）=2cos2x，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]的圖象如圖，
要使函數(shù)g（x）=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的范圍為[1，2）；
（Ⅲ）y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）=2cos2x+2cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-2sin2x+2cos2x=-2$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$．
當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}+2kπ$，即x=$-\frac{π}{8}+kπ$，k∈Z時(shí)，函數(shù)y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）取最大值$2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．