Question

如圖，圓O與直線x+

3

y+2=0相切于點(diǎn)P，與x正半軸交于點(diǎn)A，與直線y=

3

x在第一象限的交點(diǎn)為B．點(diǎn)C為圓O上任一點(diǎn)，且滿足

OC

=x

OA

+y

OB

，動點(diǎn)D（x，y）的軌跡記為曲線Γ．
（1）求圓O的方程及曲線Γ的軌跡方程；
（2）若直線y=x和y=-x分別交曲線Γ于點(diǎn)A、C和B、D，求四邊形ABCD的周長；
（3）已知曲線Γ為橢圓，寫出橢圓Γ的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、范圍和焦點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出圓O的半徑，寫出圓O的方程，利用

OC

=x

OA

+y

OB

，求出曲線Γ的方程．
（2）利用直線與曲線方程聯(lián)立，

y=x x2+y2+xy=1

，求出A，C，B，D，然后求出四邊形ABCD的周長．
（3）設(shè)曲線Γ上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x₀，y₀），點(diǎn)P關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為P₁（y₀，x₀），說明點(diǎn)P₁在曲線Γ上，故曲線Γ關(guān)于直線y=x對稱，曲線Γ關(guān)于直線y=-x和原點(diǎn)對稱．求出x²+y²+xy=1和直線y=-x的交點(diǎn)坐標(biāo)為A₁，A₂，求解即可．

解答： 解：（1）由題意圓O的半徑r=

2

12+( 3 )2

=1，
故圓O的方程為x²+y²=1．…（2分）
由

OC

=x

OA

+y

OB

得，

OC

2=(x

OA

+y

OB

)2，
即

OC

2=x2

OA

2+y2

OB

2+2xy|

OA

||

OB

|cos60°，
得x²+y²+xy=1（x，y∈[-

2 3

3

，

2 3

3

]）為曲線Γ的方程．（未寫x，y范圍不扣分）…（4分）
（2）由

y=x x2+y2+xy=1

解得：

x= 3 3 y= 3 3

或

x=- 3 3 y=- 3 3

，
所以，A（

3

3

，

3

3

），C（-

3

3

，-

3

3

）
同理，可求得B（1，-1），D（-1，1）
所以，四邊形ABCD的周長為：

17

9

（3）曲線Γ的方程為x²+y²+xy=1（x，y∈[-

2 3

3

，

2 3

3

]），
它關(guān)于直線y=x、y=-x和原點(diǎn)對稱，下面證明：
設(shè)曲線Γ上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x₀，y₀），則x02+y02+x0y0=1，
點(diǎn)P關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為P₁（y₀，x₀），顯然y02+x02+y0x0=1，
所以點(diǎn)P₁在曲線Γ上，故曲線Γ關(guān)于直線y=x對稱，
同理曲線Γ關(guān)于直線y=-x和原點(diǎn)對稱．
可以求得x²+y²+xy=1和直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為B1(-

3

3

，-

3

3

)，B2(

3

3

，

3

3

)，
x²+y²+xy=1和直線y=-x的交點(diǎn)坐標(biāo)為A₁（-1，1），A₂（1，-1），
∴|OA1|=

2

，|OB1|=

6

3

，∴

|OA1|2-|OB1|2

=

2 3

3

，
∴

|OA1|2-|OB1|2

2

=

6

3

．
在y=-x上取點(diǎn)F1(-

6

3

，

6

3

)，F2(

6

3

，-

6

3

)．
曲線Γ為橢圓：
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-

6

3

，

6

3

)，F2(

6

3

，-

6

3

)．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程以及曲線軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓的基本知識的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．