Question

若雙曲線以橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，3），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出它的離心率和漸近線方程．

Answer 1

【答案】分析：利用橢圓的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出雙曲線的方程，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程得到雙曲線的三個(gè)參數(shù)的一個(gè)關(guān)系，再利用雙曲線本身具有的關(guān)系，求出a，b，c的值，即得到雙曲線的方程，最后寫(xiě)出它的離心率和漸近線方程即可．
解答：解：橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0），（5，0），…（1分）
所以所求雙曲線的焦點(diǎn)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），
設(shè)所求雙曲線方程為，…（2分）
∴a²+b²=25①…（3分）
又雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，3），所以有②…（4分）
由①②解得a²=16，b²=9                              …（8分）
∴所求雙曲線的方程為．        
∵a²=16，b²=9∴c²=7                     
∴e=，
漸近線方程：y=±x                                …（12分）
點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法，要注意圓錐曲線中的三個(gè)參數(shù)關(guān)系的區(qū)別，雙曲線中有c²=a²+b²而橢圓中有a²=c²+b²