Question

【題目】已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】

（I）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成四種情況進(jìn)行分類討論，根據(jù)的單調(diào)區(qū)間，判斷出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（II）首先結(jié)合（I）以及判斷出，且，由此求得的表達(dá)式，利用這個(gè)表達(dá)的導(dǎo)數(shù)求得最大值為，由此證得.

（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>，，

①若，則，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上遞減，在遞增.

所以為唯一的極小值點(diǎn)，無極大值，

故此時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn).

②若，令，

則，，

當(dāng)時(shí)，，

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以－2，分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，

故此時(shí)有2個(gè)極值點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，

且不恒為0，

此時(shí)在上單調(diào)遞增，

無極值點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，，

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

；當(dāng)時(shí)，.

所以，－2分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，

故此時(shí)有2個(gè)極值點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有1個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn).

（Ⅱ）證明：若是的一個(gè)極值點(diǎn)，

由（Ⅰ）可知，

又，所以，

且，則，

所以.

令，則，

所以，

故

又因?yàn)?/span>，所以，令，得.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以是唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，

即，

故，即.