Question

6．已知α，β$∈（\frac{3π}{4}，π）$，$cos（α+β）=\frac{4}{5}$，$cos（β-\frac{π}{4}）=-\frac{5}{13}$，則$sin（α+\frac{π}{4}）$=$-\frac{33}{65}$．

Answer 1

分析 由已知可求角α+β，$β-\frac{π}{4}$的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（α+β），sin（$β-\frac{π}{4}$），由$sin（α+\frac{π}{4}）$=sin[（α+β）-（$β-\frac{π}{4}$）]利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵α，β$∈（\frac{3π}{4}，π）$，$cos（α+β）=\frac{4}{5}$，$cos（β-\frac{π}{4}）=-\frac{5}{13}$，
∴α+β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），$β-\frac{π}{4}$=（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
可得：sin（α+β）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=-$\frac{3}{5}$，sin（$β-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（β-\frac{π}{4}）}$=$\frac{12}{13}$，
∴$sin（α+\frac{π}{4}）$=sin[（α+β）-（$β-\frac{π}{4}$）]=sin（α+β）cos（$β-\frac{π}{4}$）-cos（α+β）sin（$β-\frac{π}{4}$）=（-$\frac{3}{5}$）×（-$\frac{5}{13}$）-$\frac{4}{5}×$$\frac{12}{13}$=$-\frac{33}{65}$．
故答案為：$-\frac{33}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．