Question

6．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，對(duì)D內(nèi)的任意x₁、x₂，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱f（x）為非減函數(shù)．已知f（x）是定義域?yàn)閇0，1]的非減函數(shù)，滿足①f（0）=0，②對(duì)任意x∈[0，1]，有f（1-x）+f（x）=1，③對(duì)于$x∈[0，\frac{1}{3}]$，$f（x）≥\frac{3}{2}x$恒成立，則$f（\frac{3}{7}）+f（\frac{5}{9}）$的值為1．

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)f（x）滿足的三個(gè)條件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③$x∈[0，\frac{1}{3}]$，$f（x）≥\frac{3}{2}x$恒成立．我們易得f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合$x∈[0，\frac{1}{3}]$，$f（x）≥\frac{3}{2}x$成立，可得f（$\frac{1}{3}$）≥$\frac{1}{2}$，又由f（x）為定義在[0，1]上的非減函數(shù)，可得當(dāng)x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足：f（1-x）+f（x）=1，x∈[0，1]，則f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
且$x∈[0，\frac{1}{3}]$，$f（x）≥\frac{3}{2}x$，恒成立，則f（$\frac{1}{3}$）≥$\frac{1}{2}$，
又∵函數(shù)f（x）為定義在[0，1]上的非減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$，恒成立，
故f（$\frac{3}{7}$）=$\frac{1}{2}$，f（$\frac{4}{9}$）=$\frac{1}{2}$，則f（$\frac{5}{9}$）=$\frac{1}{2}$，
則$f（\frac{3}{7}）+f（\frac{5}{9}）$=1
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，其中根據(jù)已知中，函數(shù)滿足的條件，得到當(dāng)x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$恒成立，是解答本題的關(guān)鍵．本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及對(duì)新定義的理解，同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．