Question

已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acosC+

3

asinC-b-c=0．
（1）求A的大小；
（2）若△ABC的面積S=

3

3

，b+c=4，求sinBsinC的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，把sinB=sin（A+C）代入，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，求出tan

A

2

的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）利用三角形面積公式列出關系式，把sinA與已知面積代入求出bc的值，利用余弦定理列出關系式，整理后把bc與b+c，以及cosA的值代入求出a的值，利用正弦定理表示出sinB與sinC，即可求出sinBsinC的值．

解答： 解：（1）已知等式acosC+

3

asinC-b-c=0，
利用正弦定理化簡得：sinAcosC+

3

sinAsinC-sinB-sinC=0，
把sinB=sin（A+C）代入得：sinAcosC+

3

sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0，
整理得：sinAcosC+

3

sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0，
即

3

sinAsinC=sinCcosA+sinC，
∵sinC≠0，∴

3

sinA=cosA+1，
整理得：2

3

sin

A

2

cos

A

2

=2cos²

A

2

，即tan

A

2

=

3

3

，
∴

A

2

=

π

6

，即A=

π

3

；
（2）∵S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

3

，即bc=

4

3

，b+c=4，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16-4=12，即a=2

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2 3

3 2

=4=2R，得到R=2，即sinB=

b

4

，sinC=

c

4

，
則sinBsinC=

bc

16

=

1

12

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式，熟練掌握定理是解本題的關鍵．