Question

13．已知圓M：（x-3）²+（y-4）²=2，四邊形ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OF}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-5，5]
• B． [-$\sqrt{5}$，5]
• C． [-5，$\sqrt{5}$]
• D． [-$\sqrt{5}，\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 如圖所示，$|\overrightarrow{OM}|$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5.$|\overrightarrow{ME}|$=1．由已知可得$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$=0，$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MF}$，因此$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OM}$=-5$cos＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{MO}＞$，由于$＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{MO}＞$∈[0，π]，即可得出．

解答 解：如圖所示，
$|\overrightarrow{OM}|$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
$|\overrightarrow{ME}|$=1．
∵$\overrightarrow{ME}⊥\overrightarrow{MF}$，
∴$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$=0，
∵$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MF}$，
∴$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{ME}$•$（\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MF}）$
=$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$
=$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OM}$
=-$|\overrightarrow{ME}||\overrightarrow{OM}|cos＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{MO}＞$
=-5$cos＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{MO}＞$，
∵$＜\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{MO}＞$∈[0，π]，
∴$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{OF}$∈[-5，5]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、向量三角形法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．