Question

5．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)志愿到A，B兩個(gè)社區(qū)進(jìn)行服務(wù)，他們每人將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，若向上的點(diǎn)數(shù)為5或6，則該同學(xué)去A社區(qū)，否則去B社區(qū)．
（1）求甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中恰有1人去A社區(qū)的概率；
（2）設(shè)X表示去A社區(qū)的人數(shù)，Y表示去B社區(qū)的人數(shù)，記ξ=X•Y，求隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題意知這4人中每個(gè)人去A社區(qū)的概率為$\frac{1}{3}$，去B社區(qū)的概率為$\frac{2}{3}$，
利用n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)恰有k次發(fā)生的概率計(jì)算即可；
（2）由題意ξ的可能取值，分別求出相應(yīng)的概率，
由此求出隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（1）將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，向上的點(diǎn)數(shù)為5或6的概率是
P=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$，
甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中恰有1人去A社區(qū)的概率為
P′=${C}_{4}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（1-\frac{1}{3}）}^{3}$=$\frac{32}{81}$；
（2）設(shè)X表示去A社區(qū)的人數(shù)，Y表示去B社區(qū)的人數(shù)，記ξ=X•Y，
則ξ的可能取值為0，3，4，
P（ξ=0）=P（A₀）+P（A₄）=${（\frac{2}{3}）}^{4}$+${（\frac{1}{3}）}^{4}$=$\frac{17}{81}$，
P（ξ=3）=P（A₁）+P（A₃）=${C}_{4}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$+${C}_{4}^{3}$•${（\frac{1}{3}）}^{3}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{40}{81}$，
P（ξ=4）=P（A₂）=${C}_{4}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{24}{81}$，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×$\frac{17}{81}$+3×$\frac{40}{81}$+4×$\frac{24}{81}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題．