Question

（2007•深圳一模）已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．
（Ⅰ）當(dāng)點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（Ⅱ）過定點D（m，0）（m＞0）作直線l交軌跡C于A、B兩點，E是D點關(guān)于坐標原點O的對稱點，求證：∠AED=∠BED；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于x軸的直線l'被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在求出l'的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）則可得

HP

=(3，-

y

2

)，

PM

=(x，

3y

2

)，由

HP

•

PM

=0代入整理可求點M的軌跡C；
（II）要證明∠AED=∠BED，根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，只要證K_AE=-K_BE即可；分兩種情況討論：（1）當(dāng)直線l垂直于x軸時，根據(jù)拋物線的對稱性，有∠AED=∠BED；（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，利用直線的斜率進行轉(zhuǎn)換即得；
（III）假設(shè)存在滿足條件的直線，根據(jù)垂徑定理得性質(zhì)可知，要使弦長為定值，則只要圓心到直線的距離為定值即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）（x'＞0）∵

PM

=-

3

2

MQ

，

HP

•

PM

=0．
∴(x，y-y′)=-

3

2

(x′-x，-y)且（3，y'）•（x，y-y'）=0…（2分）
∴x′=

1

3

x，y′=-

1

2

y，3x+yy′-y′2=0．…（3分）∴y²=4x（x＞0）…（4分）
∴動點M的軌跡C是以O(shè)（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線（除去原點）．…（5分）
（Ⅱ）：（1）當(dāng)直線l垂直于x軸時，根據(jù)拋物線的對稱性，有∠AED=∠BED；…（6分）
（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，依題意，可設(shè)直線l的方程為y=k（x-m）（k≠0，m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A，B兩點的坐標滿足方程組

y=k(x-m) y2=4x(x＞0)

消去x并整理，得ky²-4y-4km=0∴y1+y2=

4

k

，y1y2=-4m…（7分）
設(shè)直線AE和BE的斜率分別為k₁、k₂，則k₁+k₂=

y1

x1+m

+

y2

x2+m

=

y1(x2+m)+y2(x1+m)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 y1 y 2 2 + 1 4 y2 y 2 1 +m(y1+y2)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 y1y2(y1+y2)+m(y1+y2)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 (-4m)( 4 k )+ 4m k

(x1+m)(x2+m)

=0…（9分）
∴tan∠AED+tan（180°-∠BED）=0∴tan∠AED=tan∠BED∵0＜∠AED＜

π

2

，0＜∠BED＜

π

2

∴∠AED=∠BED．綜合（1）、（2）可知∠AED=∠BED．…（10分）
（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的直線l'，其方程為x=a，AD的中點為O'，l'與AD為直徑的圓相交于點F、G，F(xiàn)G的中點為H，則O'H⊥FG，O'點的坐標為(

x1+m

2

，

y1

2

)．
∵|O′F|=

1

2

|AD|=

1

2

(x1-m)2+ y 2 1

=

1

2

(x1-m)2+4x1

|O′H|=|a-

x1+m

2

|=

1

2

|2a-x1-m|，
∴|FH|²=|O'F|²-|O'H|²=

1

4

[(x1-m)2+4x1]-

1

4

(2a-x1-m)2=（a-m+1）x₁+a（m-a）…（12分）
∴|FG|²=（2|FH|）²=4[（a-m+1）x₁+a（m-a）]
令a-m+1=0，得a=m-1
此時，|FG|²=4（m-1）
∴當(dāng)m-1＞0，即m＞1時，|FG|=2

m-1

（定值）
∴當(dāng)m＞1時，滿足條件的直線l'存在，其方程為x=m-1；當(dāng)0＜m≤1時，滿足條件的直線l'不存在．…（14分）

點評：本題以向量得數(shù)量積得坐標表示為載體考查了圓錐曲線得求解及直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系得求解．屬于綜合試題．