已知函數(shù)f(x)=ax+b
1+x2
(x≥0)
的圖象經(jīng)過(0,1),且f(
3
)=2-
3

(1)求f(x)的值域;
(2)設(shè)命題p,f(m2-m)<f(3m-4),命題q:函數(shù)g(x)=
1
3
x3+
m
2
x2+mx+1
在R上無極值,是否存在實(shí)數(shù)m滿足復(fù)合命題p∧q為真命題?若存在,求出m的范圍;若不存在,說明理由.
分析:(1)利用函數(shù)f(x)=ax+b
1+x2
(x≥0)
的圖象經(jīng)過(0,1),且f(
3
)=2-
3
,確定函數(shù)的解析式,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,可求函數(shù)的值域;
(2)分別求出p,q為真時(shí),m的范圍,利用p∧q為真命題,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=ax+b
1+x2
(x≥0)
的圖象經(jīng)過(0,1),且f(
3
)=2-
3
,
∴b=1,
3
a+2b=2-
3
,∴b=1,a=-1
f(x)=-x+
1+x2
(x≥0)

∵f(x)=
1
x+
1+x2
在[0,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(x)≤f(0)=1
∴f(x)的值域是(-∞,1];
(2)命題p:f(m2-m)<f(3m-4)為真,等價(jià)于m2-m>3m-4≥0,∴m≥
4
3
且m≠2
命題q:函數(shù)g(x)=
1
3
x3+
m
2
x2+mx+1
在R上無極值為真,等價(jià)于函數(shù)單調(diào)增,
∵g′(x)=x2+mx+m,∴x2+mx+m≥0在R恒成立,∴△=m2-4m≤0,∴0≤m≤4
∵p∧q為真命題
4
3
≤m≤4且m≠2.
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的單調(diào)性與值域,考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查復(fù)合命題,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點(diǎn)Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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