Question

若圓x²+y²-4x-5=0與圓x²+y²-2x-4y-4=0交點(diǎn)為A，B，求：
（1）線段AB的垂直平分線方程．
（2）線段AB所在的直線方程．
（3）求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)兩圓的圓心，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心坐標(biāo)，即可得到線段AB的垂直平分線方程；
（2）兩圓相減，即可得到線段AB所在的直線方程；
（3）先求圓心到直線的距離，再求圓中弦AB的長(zhǎng)．

解答：解：（1））線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)兩圓的圓心
∵圓x²+y²-4x-5=0可化為：（x-2）²+y²=9，圓x²+y²-2x-4y-4=0可化為：（x-1）²+（y-2）²=1
∴兩圓的圓心分別為（2，0），（1，2）
∴線段AB的垂直平分線方程為

y-0

2-0

=

x-2

1-2

，即2x+y-4=0
（2）∵圓x²+y²-4x-5=0與圓x²+y²-2x-4y-4=0交點(diǎn)為A，B，
∴聯(lián)立方程，組成方程組可得

x2+y2-4x-5=0          ① x2+y2-2x-4y-4=0     ②

①-②得：-2x+4y-1=0
即線段AB所在的直線方程為2x-4y+1=0．
（3）圓（x-2）²+y²=9的圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為3，
∵（2，0）到直線2x-4y+1=0的距離為d=

|4-0+1|

4+16

=

5

2

．
∴|AB|=2

32-( 5 2 )2

=

31

點(diǎn)評(píng)：本題以兩圓相交為載體，考查兩圓公共弦的方程，考查兩圓公共弦的垂直平分線的方程，考查圓中的弦長(zhǎng)，有一定的綜合性．