Question

1．已知{a_n}滿足（3-a_n+1）（3+a_n）=9，且a₁=3，數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項和S_n=$\frac{{{n^2}+n}}{6}$．

Answer 1

分析 通過展開可知3a_n+1-3a_n=-a_n+1a_n，兩邊同時除以3a_n+1a_n整理可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$，進而可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以首項、公差均為$\frac{1}{3}$的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵（3-a_n+1）（3+a_n）=9-3a_n+1+3a_n-a_n+1a_n=9，
∴3a_n+1-3a_n=-a_n+1a_n，
兩邊同時除以3a_n+1a_n得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$，
又∵a₁=3，即$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以首項、公差均為$\frac{1}{3}$的等差數(shù)列，
∴S_n=$\frac{1}{3}$n+$\frac{n（n-1）}{2}$$•\frac{1}{3}$=$\frac{{{n^2}+n}}{6}$，
故答案為：$\frac{{{n^2}+n}}{6}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．