Question

10．已知函數f（x）=（x²-ax）e^x（x∈R），a為實數，若函數f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上不是減函數，則實數a的取值范圍是$（-∞，\frac{3}{2}）$．

Answer 1

分析 利用補集思想先求出f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上是減函數取值范圍即可得到結論．

解答 解：若函數f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上是減函數，
則等價為f′（x）≤0在閉區(qū)間[-1，1]上恒成立，
由f（x）=（x²-ax）e^x，x∈R
得f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax）e^x=[x²+（2-a）x-a]e^x
記g（x）=x²+（2-a）x-a，
依題x∈[-1，1]時，g（x）≤0恒成立，結合g（x）的圖象特征
得$\left\{\begin{array}{l}g（1）=3-2a≤0\\ g（-1）=-1≤0\end{array}\right.$，
即$a≥\frac{3}{2}$，即函數f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上是減函數的等價條件是$a≥\frac{3}{2}$，
∴若函數f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上不是減函數，
則a＜$\frac{3}{2}$，
∴a的取值范圍$（-∞，\frac{3}{2}）$，
故答案為：$（-∞，\frac{3}{2}）$

點評 本題主要考查了導數在函數單調性中的重要應用，根據補集思想先求出函數f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上是減函數的等價條件是解決本題的關鍵．考查不等式恒成立問題的解法，轉化化歸的思想方法，綜合性較強．