Question

已知函數(shù)f（x）=e^xsinx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果對(duì)于任意的x∈[0，]，f（x）≥kx總成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+e^xcosx，x∈[，]．過(guò)點(diǎn)M（）作函數(shù)F（x）圖象的所有切線，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}，求數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)之和S的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0求其增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0求其減區(qū)間；
（2）構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-kx，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求x∈時(shí)g（x）_min≥0，然后對(duì)k的值進(jìn)行分類討論，求k在不同取值范圍內(nèi)時(shí)的g（x）的最小值，由最小值大于等于0得到k的取值范圍；
（3）把f（x）的解析式代入F（x）=f（x）+e^xcosx，求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，由點(diǎn)斜式寫出切線方程，把M的坐標(biāo)代入切線方程，得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的三角方程，利用函數(shù)圖象交點(diǎn)分析得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于對(duì)稱成對(duì)出現(xiàn)，最后由給出的自變量的范圍得到數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)之和S的值．
解答：解：（1）由于f（x）=e^xsinx．所以
f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=．
當(dāng)，即時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)，即時(shí)，f′（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（k∈Z），
單調(diào)遞減區(qū)間為（k∈Z）．
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，要使f（x）≥kx總成立，只需在x∈時(shí)g（x）_min≥0．
對(duì)g（x）求導(dǎo)得g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），則h′（x）=2e^xcosx＞0，（）
所以h（x）在在上為增函數(shù)，所以．
對(duì)k分類討論：
①當(dāng)k≤1時(shí)，g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在上為增函數(shù)，所以g（x）_min=g（0）=0，
即g（x）≥0恒成立；
②當(dāng)時(shí)，g′（x）=0在上有實(shí)根x，因?yàn)閔（x）在上為增函數(shù)，
所以當(dāng)x∈（0，x）時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）＜g（0）=0，不符合題意；
③當(dāng)時(shí)，g′（x）≤0恒成立，所以g（x）在上為減函數(shù)，
則g（x）＜g（0）=0，不符合題意．
綜合①②③可得，所求的實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，1]．
（3）因?yàn)镕（x）=f（x）+e^xcosx=e^x（sinx+cosx），所以F′（x）=2e^xcosx，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則斜率為，
切線方程為，
將的坐標(biāo)代入切線方程，得

，即，
令y₁=tanx，，則這兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也關(guān)于對(duì)稱成對(duì)出現(xiàn)，
方程x∈的根，
即所作的所有切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列{x_n}的項(xiàng)也關(guān)于對(duì)稱成對(duì)出現(xiàn)，
在內(nèi)共構(gòu)成1006對(duì)，每對(duì)的和為π，
因此數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)的和S=1006π．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用對(duì)稱性求方程根的和的問(wèn)題，綜合考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是具有較高難度的題目．