Question

5．定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂x]=3成立，若方程f（x）-f'（x）=2的解在區(qū)間（k，k+1）（k∈Z）內(nèi)，則k=1．

Answer 1

分析 設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=log₂x+t，又由f（t）=3，即log₂t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（1，2），結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-log₂x為定值，
設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=log₂x+t，
又由f（t）=3，即log₂t+t=3，
解可得，t=2；
則f（x）=log₂x+2，f′（x）=$\frac{1}{ln2•x}$，
將f（x）=log₂x+2，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$代入f（x）-f′（x）=2，
可得log₂x+2-$\frac{1}{xln2}$=2，
即log₂x-$\frac{1}{xln2}$=0，
令h（x）=log₂x-$\frac{1}{xln2}$，
分析易得h（1）=$\frac{1}{ln2}$＜0，h（2）=1-$\frac{1}{2ln2}$＞0，
則h（x）=log₂x-$\frac{1}{xln2}$的零點(diǎn)在（1，2）之間，
則方程log₂x-$\frac{1}{xln2}$=0，即f（x）-f′（x）=2的根在（1，2）上，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二分法求函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系的應(yīng)用，關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)是求出f（x）的解析式．