Question

對(duì)于方程為

1

|x|

+

1

|y|

=1的曲線C給出以下三個(gè)命題：
（1）曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；
（2）曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱，且x軸和y軸是曲線C僅有的兩條對(duì)稱軸；
（3）若分別在第一、第二、第三、第四象限的點(diǎn)M，N，P，Q，都在曲線C上，則四邊形MNPQ每一條邊的邊長(zhǎng)都大于2；
其中正確的命題是（　�。�

• A、（1）（2）
• B、（1）（3）
• C、（2）（3）
• D、（1）（2）（3）；

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,曲線與方程

專題：作圖題,簡(jiǎn)易邏輯

分析：分x＞0，y＞0，x＜0，y＞0，x＜0，y＜0，x＞0，y＜0四類討論，作出

1

|x|

+

1

|y|

=1的圖象，再分別對(duì)選項(xiàng)（1）（2）（3）判斷即可．

解答： 解：∵

1

|x|

+

1

|y|

=1，
∴當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，

1

|x|

+

1

|y|

=1⇒

1

x

+

1

y

=1，解得y=

x

x-1

=1+

1

x-1

；
同理可得，當(dāng)x＜0，y＞0時(shí)，

1

|x|

+

1

|y|

=1⇒-

1

x

+

1

y

=1，整理得：y=1-

1

x+1

；
當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)，

1

|x|

+

1

|y|

=1⇒-

1

x

-

1

y

=1，整理得：y=-1+

1

x+1

；
x＞0，y＜0時(shí)，

1

|x|

+

1

|y|

=1⇒

1

x

-

1

y

=1，整理得：y=-1-

1

x-1

；
作出圖象如下：

由圖可知，曲線C關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故（1）正確；
曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱，也關(guān)于直線y=x與y=-x對(duì)稱，故（2）錯(cuò)誤；
由于在第一、第二、第三、第四象限的點(diǎn)M，N，P，Q，都在曲線C上，由圖可知，四邊形MNPQ每一條邊的邊長(zhǎng)都大于2，故（3）正確；
綜上所述，（1）（3）正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查曲線與方程的理解與應(yīng)用，考查分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．