Question

11．已知$\overrightarrow a$=（2sinx，cos²x），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$cosx，2），f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)用可得f（x）的解析式，化簡(jiǎn)，利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：$\overrightarrow a$=（2sinx，cos²x），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$cosx，2），
由f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1
（1）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
由2k$π+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：k$π+\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}+kπ$
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[：k$π+\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]上時(shí)，
可得：2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為2sin$\frac{7π}{6}$+1=0．
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為2sin$\frac{π}{2}$+1=3．
故得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值3，最小值0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．