【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣

(1)若a>0,試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;

(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為,求實數(shù)a的值;

(3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析

【解析】試題分析:解 (1)由題意f(x)的定義域為(0,+∞),且f′(x).因為a>0,所以f′(x)>0,故f(x)(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù). 3

(2)(1)可知,f′(x).

a1,則xa≥0,即f′(x)≥0[1,e]上恒成立,此時f(x)[1,e]上為增函數(shù),

所以f(x)minf(1)=-a,所以a=-(舍去)5

ae,則xa≤0,即f′(x)≤0[1,e]上恒成立,此時f(x)[1e]上為減函數(shù),

所以f(x)minf(e)1a=-(舍去)7

若-e<a<1,令f′(x)0x=-a,當(dāng)1<x<a時,f′(x)<0,所以f(x)[1,-a]上為減函數(shù);當(dāng)-a<x<e時,f′(x)>0,所以f(x)[a,e]上為增函數(shù),所以f(x)minf(a)ln(a)1a=-.

綜上所述,a=-. 9

(3)因為f(x)<x2,所以lnx<x2.x>0,所以a>xlnxx3.

g(x)xlnxx3,

h(x)gspan>′(x)1lnx3x2h′(x)6x. 11

因為x∈(1,+∞)時,h′(x)<0,h(x)(1,+∞)上是減函數(shù).

所以h(x)<h(1)=-2<0,即g′(x)<0

所以g(x)[1,+∞)上也是減函數(shù),則g(x)<g(1)=-1,

所以a1時,f(x)<x2(1,+∞)上恒成立. 13

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】對于下列說法正確的是(
A.若f(x)是奇函數(shù),則f(x)是單調(diào)函數(shù)
B.命題“若x2﹣x﹣2=0,則x=1”的逆否命題是“若x≠1,則x2﹣x﹣2=0”
C.命題p:?x∈R,2x>1024,則¬p:?x0∈R,
D.命題“?x∈(﹣∞,0),2x<x2”是真命題

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖長方體中,分別為棱,的中點

(1)求證:平面平面

(2)請在答題卡圖形中畫出直線與平面的交點(保留必要的輔助線),寫出畫法并計算的值(不必寫出計算過程).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(本小題滿分分)

已知圓,過點作直線交圓兩點.

)當(dāng)經(jīng)過圓心時,求直線的方程.

)當(dāng)直線的傾斜角為時,求弦的長.

)求直線被圓截得的弦長時,求以線段為直徑的圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+ )=1.以極點O為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)).若直線l與圓C相切,求r的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示的程序框圖的功能是(

A.求數(shù)列{ }的前10項的和
B.求數(shù)列{ }的前11項的和
C.求數(shù)列{ }的前10項的和
D.求數(shù)列{ }的前11項的和

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知一元二次函數(shù)

1)寫出該函數(shù)的頂點坐標(biāo);

2)如果該函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求實數(shù)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)).

(1)若不等式的解集為,求的取值范圍;

(2)當(dāng)時,解不等式;

(3)若不等式的解集為,若,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組為了研究人的腳的大小與身高的關(guān)系,隨機(jī)抽測了20位同學(xué),得到如下數(shù)據(jù):

序號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

身高(厘米)

192

164

172

177

176

159

171

166

182

166

腳長(碼)

48

38

40

43

44

37

40

39

46

39

序號

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

身高(厘米)

169

178

167

174

168

179

165

170

162

170

腳長(碼)

43

41

40

43

40

44

38

42

39

41

(Ⅰ)請根據(jù)“序號為5的倍數(shù)”的幾組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;

(Ⅱ)若“身高大于175厘米”的為“高個”,“身高小于等于175厘米”的為“非高個”;“腳長大于42碼”的為“大腳”,“腳長小于等于42碼”的為“非大腳”.請根據(jù)上表數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)說明能有多大的把握認(rèn)為腳的大小與身高之間有關(guān)系.

附表及公式:,.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

列聯(lián)表:

高個

非高個

總計

大腳

非大腳

總計

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