Question

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，g（x）=3e²lnx+b（其中e為常數(shù)，e=2.71828…），若這兩個函數(shù)的圖象有公共點，且在該點處的切線相同．
（Ⅰ）求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）當x∈[1，e]時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用函數(shù)與g（x）=3e²lnx+b的圖象有公共點為（x，y），建立方程組，即可求得實數(shù)b的值；
（Ⅱ）原不等式可化為a（x-lnx）≥x²-2x，分離參數(shù)可得在[1，e]上恒成立，構(gòu)造，x∈[1，e]，確定F（x）在[1，e]上為增函數(shù)，求出函數(shù)的最大值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）求導數(shù)可得：f'（x）=x+2e，…（2分）
設函數(shù)與g（x）=3e²lnx+b的圖象有公共點為（x，y）
由題意得 …（4分）
解得：…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以，即a（x-lnx）≥x²-2x…（1）
當x∈[1，e]時，lnx≤1≤x，且等號不能同時成立，∴x-lnx＞0
所以由（1）式可得在[1，e]上恒成立   …（9分）
設，x∈[1，e]，則…（11分）
顯然有x-1≥0，又lnx≤1，∴x+2-2lnx＞0
所以F'（x）≥0（僅當x=1時取等號），
∴F（x）在[1，e]上為增函數(shù) …（12分）
故
所以實數(shù)a的取值范圍是．…（14分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值，屬于中檔題．