Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切，過點P（4，0）的直線L與橢圓C相交于A、B兩點．
（1）求橢圓C的方程；　
（2）求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意知 e==，∴e²===，即a²=b²
又∵橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切
∴b==，∴a²=4，b²=3，
故橢圓的方程為
（2）由題意知直線AB的斜率存在，設直線PB的方程為y=k（x-4）．
由直線方程代入橢圓方程可得：（3+4k²）x²-8k²x+64k²-12=0
由△＞0得：64k⁴-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得k²＜
設A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
∴
∵，
∴
∴的取值范圍是
分析：（1）根據離心率為，可得a²=b²，根據橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切，可求b的值，從而可得橢圓的方程；
（2）由題意知直線AB的斜率存在，設直線PB的方程代入橢圓方程，利用韋達定理，及向量的數量積公式，即可確定的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，解題的關鍵是確定幾何量之間的關系，利用直線與橢圓聯立，結合韋達定理求解．