Question

14．已知橢圓C的對稱中心為坐標原點O，焦點在x軸上，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點和右頂點分別為B，A，線段AB的中點為D，且${k_{DD}}•{k_{AN}}=\frac{1}{2}$，△AOB的面積為$2\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F₁的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，若△MF₂N的面積為$\frac{16}{3}$，求以F₂為圓心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，求出左焦點F₁（-c，0），右焦點F₂（c，0），B（0，b），A（a，0），推出$D（{\frac{a}{2}，\frac{2}}）$，利用${k_{OD}}•{k_{AB}}=\frac{a}•（{-\frac{a}}）=-\frac{1}{2}$知，a²=2b²，結(jié)合三角形的面積，求出a，b即可得到橢圓方程．
（2）由上知F₁（-2，0），設(shè)過F₁的直線l的方程為：x+2=my，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去x，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韋達定理弦長公式，表示三角形的面積，然后求解即可．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
左焦點F₁（-c，0），右焦點F₂（c，0），B（0，b），A（a，0），
則$D（{\frac{a}{2}，\frac{2}}）$，由已知${k_{OD}}•{k_{AB}}=\frac{a}•（{-\frac{a}}）=-\frac{1}{2}$知，a²=2b²，
又${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}ab=2\sqrt{2}⇒ab=4\sqrt{2}$，解得a²=8，b²=4，
所以橢圓方程為：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）由上知F₁（-2，0），設(shè)過F₁的直線l的方程為：x+2=my，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my-2\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.⇒（{{m^2}+2}）{y^2}-4my-4=0$，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=\frac{4m}{{{m^2}+2}}\\{y_1}{y_2}=-\frac{4}{{{m^2}+2}}\end{array}\right.$，又因為${S_{△M{F_2}N}}=\frac{1}{2}•2c•|{{y_1}-{y_2}}|=2\sqrt{{{（{\frac{4m}{{{m^2}+2}}}）}^2}-4•（{-\frac{4}{{{m^2}+2}}}）}=\frac{16}{3}$；
化簡得2m⁴-m²-1=0⇒m²=1或${m^2}=-\frac{1}{2}$（舍去），
故m=±1，此時直線l的方程為：x-y+2=0或x+y+2=0，
易知F₂（2，0）到直線l的距離為圓的半徑，即$r=2\sqrt{2}$，
所以所求圓的方程為：（x-2）²+y²=8．

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．