Question

10．橢圓$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$與雙曲線$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a，b＞0）$有相同的焦點(diǎn)，且兩曲線的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線漸近線的傾斜角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 求出橢圓的離心率，得到雙曲線的離心率，求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解即可．

解答 解：橢圓$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的焦點(diǎn)坐標(biāo)（±1，0），離心率為：$\frac{1}{2}$，
雙曲線$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a，b＞0）$的焦點(diǎn)（±1，0），c=1，雙曲線的離心率為2．
可知a=$\frac{1}{2}$，則b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
雙曲線漸近線y=±$\sqrt{3}x$的傾斜角的正弦值為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力