在棱長AB=AD=2,AA1=3的長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E是平面BCC1B1上的動點,點F是CD的中點.試確定點E的位置,使D1E⊥平面AB1F.
分析:分別以AB、AD、AA1為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖所示.可得A、B1、D1、F各點的坐標,設(shè)E(2,y,z),得出向量
AF
、
AB 1
D1E
的坐標.若D1E⊥平面AB1F,則D1E⊥AB1且D1E⊥AF,利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組,解出y=1且z=
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,得E(2,1,
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),因此可得存在平面BCC1B1上的動點E,當E到BB1和BC的距離分別為1、
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時,可使D1E⊥平面AB1F.
解答:解:分別以AB、AD、AA1為x、y、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示
可得A(0,0,0),B1(2,0,3),D1(0,2,3),F(xiàn)(1,2,0)
設(shè)E(2,y,z),則
AF
=(1,2,0)
AB 1
=(2,0,3)
,
D1E
=(2,y-2,z-3)

若D1E⊥平面AB1F,則D1E⊥AB1且D1E⊥AF
D1E
AF
=2+2(y-2)=0
D1E
AB1
=4+3(z-3)=0
,解之得y=1,z=
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即E的坐標為(2,1,
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)時,D1E⊥平面AB1F.
因此,存在平面BCC1B1上的動點E,當E到BB1的距離等于1且到BC的距離
等于
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時,可使D1E⊥平面AB1F.
點評:本題在長方體中探索線面垂直垂直的問題,著重考查了長方體的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)與判定和利用空間坐標系研究線面垂直等知識,屬于中檔題.
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