Question

已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)P是點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)．
（1）試問(wèn)在x軸上是否存在不同于點(diǎn)P的一點(diǎn)T，使得TA，TB與x軸所在的直線(xiàn)所成的銳角相等，若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．
（2）若△AOB的面積為

5

2

，求向量

OA

，

OB

的夾角．

Answer 1

（1）由題意知：拋物線(xiàn)方程為：y²=4x且P（-1，0）-------（1分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my-1，代入y²=4x得
y²-4my+4=0，△=16m²-16＞0，得m²＞1，

y1+y2=4m y1y2=4

--------（2分）
假設(shè)存在T（a，0）滿(mǎn)足題意，則k_AT+k_BT=

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=

2my1y2-(1+a)(y1-y2)

(x1-a)(x2-a)

=

8m-4m(1+a)

(x1-a)(x2-a)

=0．∴8m-4m（1+a）=0，
∴a=1，∴存在T（1，0）----------------（6分）
（2）S_△ABC=

1

2

|OF||y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|=

5

2

∴|y₁-y₂|=5----------------（7分）
設(shè)直線(xiàn)OA，OB的傾斜角分別為α，β，∠AOB=θ
k_OA=

y1

x1

=

y1

y 21 4

=

4

y1

=tanα，k_OB=

4

y2

=tanβ--------（9分）
設(shè)θ=|α-β|，
∴tanθ=|tan（α-β）|=|

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

|=|

4 y1 - 4 y2

1+ 16 y1y2

|=

|y1-y2|

5

=1------（11分）
∴θ=

π

4

----------------------（12分）