Question

19．已知曲線C：x²+y²=1，將曲線C上的點按坐標變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$得到曲線C′；以直角坐標系原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標系方程是ρ（2cosθ+sinθ）=10．
（1）寫出曲線C′和直線l的普通方程；
（2）求曲線C′上的點M到直線l距離的最大值及此時點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）曲線C：x²+y²=1，將曲線C上的點按坐標變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}{x}^{′}}\\{y=\frac{1}{3}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲線C的方程可得到曲線C′；直線l的極坐標系方程是ρ（2cosθ+sinθ）=10，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得到直角坐標方程．
（2）設(shè)與直線2x+y-10=0平行且與橢圓C相切的直線方程為：2x+y-t=0．把y=t-2x代入曲線C的方程可得：25x²-16tx+4t²-36=0，令△=0，解得t，可得切點M，即可得出點M到直線l距離的最大值．

解答 解：（1）曲線C：x²+y²=1，將曲線C上的點按坐標變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}{x}^{′}}\\{y=\frac{1}{3}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲線C的方程可得：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{4}+\frac{（{y}^{′}）^{2}}{9}=1$，得到曲線C′；
直線l的極坐標系方程是ρ（2cosθ+sinθ）=10，化為2x+y-10=0．
（2）設(shè)與直線2x+y-10=0平行且與橢圓C相切的直線方程為：2x+y-t=0．
把y=t-2x代入曲線C的方程可得：25x²-16tx+4t²-36=0，（*）
令△=0，解得t=±5，取t=-5．
則方程（*）化為：（5x+8）²=0，
解得x=-$\frac{8}{5}$，y=$-\frac{9}{5}$，
∴切點M$（-\frac{8}{5}，-\frac{9}{5}）$，
∴點M到直線l距離的最大值=$\frac{|-\frac{16}{5}-\frac{9}{5}-10|}{\sqrt{5}}$=3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了把極坐標方程化為直角方程、直線與橢圓相切用、點到直線的距離公式、相互平行的直線的斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．