Question

（30分）如圖，已知拋物線C：，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線，且l交x軸于E點(diǎn)，過點(diǎn)F任意作一條直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)。

（1）若，求證：；

（2）設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，P為奇素?cái)?shù)，且點(diǎn)M到x軸的距離和點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離均為非零整數(shù)，求證：點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離不可能是整數(shù)。

Answer 1

解析：（1）方法1：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（p，0），設(shè)直線l的方程為

得  ①

設(shè)，則y₁、y₂是方程①的兩個(gè)根，有

由

因?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090724/20090724095616007.gif' width=464>，

又

所以

故   …………10分

方法2：如圖，設(shè)點(diǎn)A、B在準(zhǔn)線l上的射影分別為A′、B′，

則|AF|=|A′A|，|BF|=|B′B|。從而，由

因?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090724/20090724095616013.gif' width=405>

又

故 …………10分

（2）設(shè)M（x，y），依題意x、y均為非零整數(shù)，由對(duì)稱性，不防設(shè)x，y，則

 ②

因?yàn)辄c(diǎn)M在直線AB上，所以x=my+p  ③

由②、③消去m，得   ④

假設(shè)|OM|=r為正整數(shù)，則   ⑤

因?yàn)閜為奇質(zhì)數(shù)，所以由④知，p|y，從而p|x。

于是，由⑤知p|r。

令，則有

。

消去y₁，得

即

又有相同的奇偶性，且

所以

從而y₁=0，于是y=-0，這與y為正整數(shù)矛盾。

故點(diǎn)M到坐標(biāo)頂點(diǎn)O的距離不可能是整數(shù)。