Question

9．如圖，矩形ABCD滿足AB=3，AD=2，E，F(xiàn)分別是AB，DC上的點(diǎn)，且EF∥AD，AE=1．將四邊形AEFD沿EF折起，形成了三棱柱ABE-DCF，若折起后的CD=$\sqrt{5}$．
求證：
（1）CF⊥平面AEFD；
（2）平面AEC⊥平面DFB．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理證明CF⊥DF，結(jié)合CF⊥EF，DF∩CF=F，證明CF⊥平面AEFD；
（2）證明DF⊥平面EFC，可得DF⊥EC，結(jié)合EC⊥BF，證明EC⊥平面DFB，即可證明平面AEC⊥平面DFB．

解答 證明：（1）由題意，△DFC中，DF=1，CF=2，CD=$\sqrt{5}$．
∴DF²+CF²=CD²，
∴CF⊥DF，
∵CF⊥EF，DF∩CF=F，
∴CF⊥平面AEFD；
（2）∵EB=EF=2，
∴BEFC是正方形，
∴EC⊥BF，
∵DF⊥EF，DF⊥CF，EF∩CF=F，
∴DF⊥平面EFC，
∴DF⊥EC，
∵BF∩DF=F，
∴EC⊥平面DFB．
∵EC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面DFB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面、平面與平面的垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確證明直線與平面垂直是關(guān)鍵．