Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短軸長為2．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 設(shè)直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)，并與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，截得的弦長為$\frac{5}{2}$，求直線l的方程；
（Ⅲ） 如圖，橢圓左頂點(diǎn)為A，過原點(diǎn)O的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)．試問：以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)（與直線PQ的斜率無關(guān)）？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得b=1，由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，解方程可得k，再由直線的斜率不存在，不成立．即可得到所求直線的方程；
（Ⅲ）以MN為直徑的圓過定點(diǎn)（±1，0）．求得M，N的坐標(biāo)，由直徑式的圓的方程可得MN為直徑的圓的方程，整理得一般式方程，令y=0，即可得到所求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）由短軸長為2，得b=1，
由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得a²=4，b²=1．              
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；   
（Ⅱ）（1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程：$y=k（x-\sqrt{3}）$，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{3}）}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$可得$（4{k^2}+1）{x^2}-8\sqrt{3}{k^2}x+12{k^2}-4=0$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}{k^2}}}{{4{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{12{k^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$，
∴$|{EF}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{\frac{{8\sqrt{3}{k^2}}}{{4{k^2}+1}}}）}^2}-4（{\frac{{12{k^2}-4}}{{4{k^2}+1}}}）}=\frac{5}{2}$，
∴$k=±\frac{1}{2}$；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，|EF|=1不符合．
∴直線方程為$x-2y-\sqrt{3}=0$和$x+2y-\sqrt{3}=0$．
（Ⅲ）以MN為直徑的圓過定點(diǎn)（±1，0）．
證明如下：設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），且$\frac{x_0^2}{4}+{y_0}^2=1$，即$x_0^2+4y_0^2=4$，
∵A（-2，0），∴直線PA方程為：$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，∴$M（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$，
直線QA方程為：$y=\frac{{-{y_0}}}{{-{x_0}+2}}（x+2）$，∴$N（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$，
以MN為直徑的圓為$（x-0）（x-0）+（y-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}）（y-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）=0$，
或通過求得圓心$O'（0，\frac{{2{x_0}{y_0}}}{{{x_0}^2-4}}）$，$r=|\frac{{4{y_0}}}{{{x_0}^2-4}}|$得到圓的方程．
即${x^2}+{y^2}-\frac{{4{x_0}{y_0}}}{{{x_0}^2-4}}y+\frac{{4{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=0$，
∵$x_0^2-4=-4y_0^2$，∴${x^2}+{y^2}+\frac{x_0}{y_0}y-1=0$，
令y=0，則x²-1=0，解得x=±1．
∴以MN為直徑的圓過定點(diǎn)（±1，0）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和橢圓的性質(zhì)，考查直線的方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理你和弦長公式，考查直線和圓的方程的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．