Question

4．某廠為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量，從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取各10件，測量產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克）．如圖是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖：
規(guī)定：當產(chǎn)品中的此種元素含量滿足≥18毫克時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．
（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計算甲、乙兩條生產(chǎn)線產(chǎn)品質(zhì)量的均值與方差，并說明哪條生產(chǎn)線的產(chǎn)品的質(zhì)量相對穩(wěn)定；
（2）從乙廠抽出的上述10件產(chǎn)品中，隨機抽取3件，求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）分別求出甲、乙兩個車間產(chǎn)品某種元素含量的均值$\overline{{x}_{甲}}$、$\overline{{x}_{乙}}$，方差${{S}_{甲}}^{2}$、${{S}_{乙}}^{2}$，由$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，$s_甲^2＞s_乙^2$，知乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品的質(zhì)量相對穩(wěn)定．
（2）由樣本數(shù)據(jù)可知，乙廠10件產(chǎn)品中有5件是優(yōu)等品，ξ的取值為0，1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)甲、乙兩個車間產(chǎn)品某種元素含量的均值分別為$\overline{{x}_{甲}}$、$\overline{{x}_{乙}}$，方差分別為${{S}_{甲}}^{2}$、${{S}_{乙}}^{2}$，
$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{9+13+19+16+15+18+21+25+21+23}{10}=18$，
$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{18+16+17+16+19+12+15+22+21+24}{10}=18$，…（2分）
${{S}_{甲}}^{2}$=$\frac{1}{10}$[（9-18）²+（13-18）²+（19-18）²+（16-18）²+（15-18）²+（18-18）²+（21-18）²+（25-18）²+（21-18）²+（23-18）²]=14，
${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{10}$[（18-18）²+（16-18）²+（17-18）²+（16-18）²+（19-18）²+（12-18）²+（15-18）²+（22-18）²+（21-18）²+（24-18）²]=11.6，
∵$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，$s_甲^2＞s_乙^2$，∴乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品的質(zhì)量相對穩(wěn)定．  …（5分）
（2）由樣本數(shù)據(jù)可知，乙廠10件產(chǎn)品中有5件是優(yōu)等品，
∴ξ的取值為0，1，2，3．
$P（ξ=0）=\frac{C_5^0C_5^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{12}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_5^1C_5^2}{{C_{10}^3}}=\frac{5}{12}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_5^2C_5^1}{{C_{10}^3}}=\frac{5}{12}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_5^3C_5^0}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{12}$，…（9分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

故ξ的數(shù)學(xué)期望為$Eξ=0×\frac{1}{12}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{5}{12}+3×\frac{1}{12}=\frac{3}{2}$．…（12分）

點評 本題考查平數(shù)、方差的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．