Question

給出下列命題：
（1）函數(shù)f（x）=4sin（2x+）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-）對(duì)稱；
（2）函數(shù)g（x）=-3sin（2x-）在區(qū)間（-）內(nèi)是增函數(shù)；
（3）函數(shù)h（x）=sin（x-）是偶函數(shù)；
（4）存在實(shí)數(shù)x，使sinx+cosx=．
其中正確的命題的序號(hào)是________．

Answer 1

解：當(dāng)x=-時(shí)，函數(shù)f（x）=4sin（2x+）=0，故點(diǎn)（-）是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，故函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（-）對(duì)稱，故（1）正確．
（2）由于函數(shù)g（x）=-3sin（2x-），由 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，
可得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，取k=-1，得≤x≤-，
故函數(shù)的增區(qū)間為[，-]，故（2）不正確．
（3）由于h（x）=sin（-）=cos，從而h（-x）=h（x），得h（x）是偶函數(shù)，∴命題（3）正確；
（4）中令y=sinx+cosx=sin（x+）則-≤y≤，
∵-≤≤，∴存在實(shí)數(shù)x，使得sinx+cosx=；即（4）正確．
其中正確的命題的序號(hào)是 （1）（3）（4）．
故答案為：（1）（3）（4）．
分析：根據(jù)點(diǎn)（-）是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，故函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（-）對(duì)稱，故（1）正確；
由 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得y=sin（2x-） 的增區(qū)間，可得（2）不正確；
對(duì)于（3），利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)為y=-cosx，該函數(shù)是偶函數(shù)；（3）正確；
（4）根據(jù)輔助角公式，我們可將sinx+cosx化為 sin（x+），再由正弦型函數(shù)的值域，可以判斷（4）的真假．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性，判斷命題的真假，以及y=Asin（ωx+∅）圖象與性質(zhì)，掌握y=Asin（ωx+∅）圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．