Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=

x+m

x2+nx+1

．
（1）求m，n的值；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；
（3）若f（x）≤

a

3

對x∈[-

1

3

，

1

3

]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，得f（0）=0，f（-1）=-f（1）；
（2）根據(jù)增函數(shù)的定義進(jìn)行證明；
（3）求函數(shù)f（x）的最大值即可．

解答： 解：∵x∈R，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
得m=0
（1）因f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=

x+m

x2+nx+1

．
所以f（-1）=-f（1），
解得n=0，
∴m=n=0
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1(x22+1)-x2(x12+1)

(x12+1)(x22+1)

=

(x1x22-x2x12)+(x1-x2)

(x12+1)(x22+1)

=

(x1-x2)+(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

∵-1＜x₁＜1，-1＜x₂＜1
∴-1＜x₁x₂＜1∴1-x₁x₂＞0
又x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）（8分）
∴f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增
（3）∵∴f（x）在[-

1

3

，

1

3

]上的最大值為f（

1

3

）=

3

10

，
∴

a

3

≥

3

10

，
∴a≥

9

10

．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，已經(jīng)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值．