Question

10．已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F（-c，0）（c＞0），以O(shè)F為直徑的圓交雙曲線C的漸近線于A，B，O三點，且（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AF}$）$•\overrightarrow{OF}$=0，若關(guān)于x的方程ax²+bx-c=0的兩個實數(shù)根分別為x₁和x₂，則以|x₁|，|x₂|，2為邊長的三角形的形狀是（　�。�

• A． 鈍角三角形
• B． 直角三角形
• C． 銳角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 運用向量的加減運算和數(shù)量積的性質(zhì)可得|AF|=|AO|，△AOF為等腰直角三角形，求得漸近線的斜率，進而得到c=$\sqrt{2}$a，方程ax²+bx-c=0即為x²+x-$\sqrt{2}$=0，求得兩根，求得平方，運用余弦定理，即可判斷三角形的形狀．

解答 解：由（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AF}$）$•\overrightarrow{OF}$=0，可得
（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AF}$）•（$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AO}$）=0，
即有$\overrightarrow{AF}$²-$\overrightarrow{AO}$²=0，
即|AF|=|AO|，△AOF為等腰直角三角形，
可得∠AOF=45°，
由漸近線方程y=±$\frac{a}$x，
可得$\frac{a}$=1，c=$\sqrt{2}$a，
則關(guān)于x的方程ax²+bx-c=0即為x²+x-$\sqrt{2}$=0，
即有x₁x₂=-$\sqrt{2}$，x₁+x₂=-1，
即有x₁²+x₂²=1+2$\sqrt{2}$＜4，
可得以|x₁|，|x₂|，2為邊長的三角形的形狀是鈍角三角形．
故選：A．

點評 本題考查三角形的形狀的判斷，注意運用余弦定理，考查雙曲線的漸近線方程的運用，以及向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．