在四面體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形．

(1)

求證：BC⊥AD；

(2)

若點D到平面ABC的距離等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；

(3)

設(shè)二面角A－BC－D的大小為,猜想為何值時，四面體ABCD的體積最大．

答案：
解析：

(1)

證明：取中點，連結(jié)、．

因為、都是邊長為

4的正三角形，

所以，，

且．

所以平面，

又平面．

所以．－－－－－－－－5分

(2)

解：由(Ⅰ)知為二面角－－的平面角，

設(shè)＝，則過點作，垂足為

平面，且平面，

∴平面平面，又平面平面＝

∴平面，

∴線段的長為點到平面的距離，即

又

在中，，

故二面角－－的正弦值為．－－－－－－－－－－－－－10分

(3)

解：當時，四面體ABCD的體積最大．－－－－－－－－－－－－－13分


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A、
1
3
B、
1
2
C、
2
3
D、
4
3

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．

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3
3
．

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