Question

已知橢圓E：+=1的左焦點為F，左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標原點O，設(shè)G是圓C上任意一點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）在平面上是否存在一點P，使得=？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題易知圓C的圓心為（）而a=，b=2可求出圓心為（-4，0）又圓C恰好經(jīng)過坐標原點O故半徑為4所以圓C的方程為（x+4）²+y²=16
（2）可利用直線FG與直線l聯(lián)立求出t點坐標再利用中點坐標公式求出G（-3，y_G）再代入圓C的方程求出y_G進而求出FG的方程為y=（x+2），然后利用圓心到直線的距離公式求出C（-4，0）到FG的距離d=再利用勾股定理即可求出弦長的一半進而求解．

（3）假設(shè)存在P（s，t），G（x，y）使得=成立利用兩點間的距離公式化簡可得方程3（x²+y²）+（16+2s）x+2ty+16-s²-t²=0再結(jié)G（x，y）在圓C即x²+y²+8x=o可得（2s-8）x+2ty+16-s²-t²=0對所有的x，y_0．成立
故2s-8=0，2t=0，16-s²-t²=0所以s=4，t=0即存在p（4，0）滿足題意．
解答：解：（1）∵a=，b=2
∴c=2
∴左準線方程為x==-4
∴圓心為（-4，0）
∵圓C恰好經(jīng)過坐標原點O故半徑為4
∴圓C的方程為（x+4）²+y²=16
（2）由題意知，得G（-3，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得y=
所以FG的斜率為K=y=，F(xiàn)G的方程為y=（x+2）
所以C（-4，0）到FG的距離d=，直線FG被圓C截得弦長為2=7
故直線FG被圓C截得弦長為7．
（3）設(shè)P（s，t），G（x，y），則由，得，
整理得3（x²+y²）+（16+2s）x+2ty+16-s²-t²=0①
又G（x，y）在圓C：（x+4）²+y²=16上，所以x²+y²+8x=o②

②代入①得（2s-8）x+2ty+16-s²-t²=0
又G（x，y）為圓C上任意一點可知，2s-8=0，2t=0，16-s²-t²=0解得s=4，t=0．
所以在平面上存在一點p，其坐標為（4，0）．
點評：此題第一問主要考查了利用橢圓的有關(guān)知識求圓的方程關(guān)鍵是要知道橢圓的左準線方程是x=．第二問考查了利用圓心到直線的距離公式求出d再利用半徑，d，弦長的一半構(gòu)成直角三角形再采用勾股定理即可求解．對于第三問較難但思路較簡單即假設(shè)存在P（s，t），G（x，y）使得=成立，關(guān)鍵是得出（2s-8）x+2ty+16-s²-t²=0后怎么辦是難點！實質(zhì)上這是恒成立的問題只需系數(shù)和常數(shù)項為0即可求出s，t．