Question

8．已知函數(shù)f（x）=（2x-4）e^x+a（x+2）²．（a∈R，e為自然對數(shù)的底）
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當x≥0時，不等式f（x）≥4a-4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（0），f′（0），求出切線方程即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，有f（x）=（2x-4）e^x+（x+2）²，
則f'（x）=（2x-2）e^x+2x+4⇒f'（0）=-2+4=2．-------（3分）
又因為f（0）=-4+4=0，-------（4分）
∴曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為y-0=2（x-0），即y=2x．-------（6分）
（Ⅱ）因為f'（x）=（2x-2）e^x+2a（x+2），令g（x）=f'（x）=（2x-2）e^x+2a（x+2）
有g'（x）=2x•e^x+2a（x≥0）且函數(shù)y=g'（x）在x∈[0，+∞）上單調遞增-------（8分）
當2a≥0時，有g'（x）≥0，此時函數(shù)y=f'（x）在x∈[0，+∞）上單調遞增，則f'（x）≥f'（0）=4a-2
（ⅰ）若4a-2≥0即$a≥\frac{1}{2}$時，有函數(shù)y=f（x）在x∈[0，+∞）上單調遞增，
則f（x）_min=f（0）=4a-4恒成立；-------（9分）
（ⅱ）若4a-2＜0即$0≤a＜\frac{1}{2}$時，則在x∈[0，+∞）存在f'（x₀）=0，
此時函數(shù)y=f（x）在x∈（0，x₀）上單調遞減，x∈（x₀，+∞）上單調遞增且f（0）=4a-4，
所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；-------（10分）
當2a＜0時，有g'（0）=2a＜0，則在x∈[0，+∞）存在g'（x₁）=0，
此時x∈（0，x₁）上單調遞減，x∈（x₁，+∞）上單調遞增，
所以函數(shù)y=f'（x）在x∈[0，+∞）上先減后增．
又f'（0）=-2+4a＜0，則函數(shù)y=f（x）在x∈[0，+∞）上先減后增且f（0）=4a-4．
所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；-------（11分）
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為$a≥\frac{1}{2}$．-------（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想、轉化思想，是一道綜合題．