如圖,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.
(1)證明:AA1⊥BD;
(2)證明:CC1∥平面A1BD.
見解析
【解析】(1)法一因為D1D⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD,所以D1D⊥BD.
在△ABD中,由余弦定理,得
BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos∠BAD.
又因為AB=2AD,∠BAD=60°,所以BD2=3AD2.
所以AD2+BD2=AB2,因此AD⊥BD.
又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1?平面ADD1A1,所以AA1⊥BD.
法二因為DD1⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD,
所以BD⊥D1D.
如圖1,取AB的中點G,連接DG.
圖1
在△ABD中,由AB=2AD,得AG=AD.又∠BAD=60°,所以△ADG為等邊三角形,所以GD=GB,故∠DBG=∠GDB.
又∠AGD=60°,所以∠GDB=30°,
所以∠ADB=∠ADG+∠GDB=60°+30°=90°,
所以BD⊥AD.
又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1?平面ADD1A1,所以AA1⊥BD.
(2)如圖2,連接AC,A1C1.
設AC∩BD于點E,
圖2
連接EA1.
因為四邊形ABCD為平行四邊形,
所以EC=AC.
由棱臺的定義及AB=2AD=2A1B1知,
A1C1∥EC且A1C1=EC,
所以四邊形A1ECC1為平行四邊形,
因此CC1∥EA1.
又因為EA1?平面A1BD,CC1?平面A1BD,
所以CC1∥平面A1BD.
科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習專題提升訓練訓練7練習卷(解析版) 題型:選擇題
在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,則cos C等于( ).
A. B.- C.± D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習專題提升訓練訓練15練習卷(解析版) 題型:填空題
設拋物線y2=8x的焦點為F,準線為l,P為拋物線上一點PA⊥l,A為垂足,如果AF的斜率為-,那么|PF|=________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習專題提升訓練訓練14練習卷(解析版) 題型:選擇題
已知傾斜角為α的直線l與直線x-2y+2=0平行,則tan 2α的值為( ).
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習專題提升訓練訓練13練習卷(解析版) 題型:選擇題
如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F且EF=,則下列結論中錯誤的是( ).
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱錐A-BEF的體積為定值
D.異面直線AE,BF所成的角為定值
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習專題提升訓練訓練12練習卷(解析版) 題型:填空題
設α和β為兩個不重合的平面,給出下列四個命題:
①若α內的兩條相交直線分別平行于β內的兩條直線,則α平行于β;②若α外一條直線l與α內的一條直線平行,則l和α平行;③設α和β相交于直線l,若α內有一條直線垂直于l,則α和β垂直;④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內的兩條直線垂直.其中為真命題的是________(寫出所有真命題的序號).
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習專題提升訓練訓練11練習卷(解析版) 題型:解答題
如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,直線l與平面ABCD平行,E和F是l上的兩個不同點,且EA=ED,FB=FC.E′和F′是平面ABCD內的兩點,EE′和FF′都與平面ABCD垂直.
(1)證明:直線E′F′垂直且平分線段AD;
(2)若∠EAD=∠EAB=60 °,EF=2.求多面體ABCDEF的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習專題提升訓練訓練10練習卷(解析版) 題型:選擇題
已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1 006和a1 007是方程x2-2 012x-2 011=0的兩根,則使Sn>0成立的正整數(shù)n的最大值是( ).
A.1006 B.1007 C.2011 D.2012
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學(理)二輪復習專題提升訓練優(yōu)化重組卷3練習卷(解析版) 題型:填空題
設y=f(x)是一次函數(shù),f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)=________.
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