【題目】已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x),且對任意x>0,都有f′(x)>.

(1)判斷函數(shù)F(x)=在(0,+∞)上的單調(diào)性;

(2)設(shè)x1,x2∈(0,+∞),證明:f(x1)+f(x2)<f(x1x2);

(3)請將(2)中結(jié)論推廣到一般形式,并證明你所推廣的結(jié)論.

【答案】(1) 見解析;(2) 見解析;(3) 見解析.

【解析】試題分析:()判斷F(x)的單調(diào)性,則需對F(x)求導,得F′(x),f ′(x),x0,則xf ′(x)f(x)0,即F′(x)0F(x)(0,+∞)上是增函數(shù).)要證明f(x1)f(x2)f(x1x2),可以從第()的結(jié)論入手,x10,x20,0x1x1x2,F(x)(0,+∞)上是增函數(shù),則F(x1)F(x1x2),即,而x10,所以f(x1)f(x1x2),同理f(x2)f(x1x2),兩式相加,得f(x1)f(x2)f(x1x2),得證.)()中結(jié)論的推廣形式為:設(shè)x1,x2,xn(0,+∞),其中n≥2,則f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn).證明的方法同()的證明,x10,x20,xn0,0x1x1x2xnF(x)(0,+∞)上是增函數(shù),F(x1)F(x1x2xn),即,而x10,所以f(x1)f(x1x2xn),同理f(x2)f(x1x2xn),……

f(xn)f(x1x2xn),以上n個不等式相加,得f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn),得證.

試題解析:()對F(x)求導數(shù),得F′(x)

f ′(x),x0,xf ′(x)f(x),即xf ′(x)f(x)0,

∴F′(x)0

F(x)(0,+∞)上是增函數(shù).

∵x10,x20∴0x1x1x2

由(),知F(x)(0,+∞)上是增函數(shù),

F(x1)F(x1x2),即

x10f(x1)f(x1x2)

同理可得f(x2)f(x1x2)

以上兩式相加,得f(x1)f(x2)f(x1x2)

)()中結(jié)論的推廣形式為:

設(shè)x1,x2,,xn∈(0,+∞),其中n≥2,則f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)

∵x10x20,,xn0

∴0x1x1x2xn

由(),知F(x)(0,+∞)上是增函數(shù),

F(x1)F(x1x2xn),即

∵x10

f(x1)f(x1x2xn)

同理可得

f(x2)f(x1x2xn),

f(x3)f(x1x2xn)

……

f(xn)f(x1x2xn)

以上n個不等式相加,得f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)

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D. 把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2

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