Question

11．已知拋物線 Γ：y²=8x 的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn) P 在 Γ 上且$|{PK}|=\sqrt{2}|{PF}|$，則△PKF的面積為8．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），K（-2，0），F(xiàn)（2，0），由$|{PK}|=\sqrt{2}|{PF}|$，及點(diǎn)P在拋物線上，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得關(guān)于x，y的方程，解方程可求P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求△PFK的面積．

解答 解：由題意，設(shè)P（x，y），K（-2，0），F(xiàn)（2，0），
∵$|{PK}|=\sqrt{2}|{PF}|$，
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
整理可得，x²+y²-12x+4=0，
∵y²=8x，
∴x²-4x+4=0，
∴x=2，|y|=4，
∴S_△PFK=$\frac{1}{2}$|FK||y|=$\frac{1}{2}×4×4$=8．
故答案為：8

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用及基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．