Question

8．如圖，正四面體ABCD中，E、F分別是棱BC和AD的中點，則直線AE和CF所成的角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 連接BF、EF，推導出AD⊥面BCF，AE在平面BCF上的射影為EF，設(shè)異面直線AE和CF所成的角為θ，則cosθ=cos∠AEF•cos∠EFC，由此能求出結(jié)果．

解答 解：連接BF、EF，
∵正四面體ABCD中，E、F分別是棱BC和AD的中點，
∴BF⊥AD，CF⊥AD，
又BF∩CF=F，∴AD⊥面BCF，
∴AE在平面BCF上的射影為EF，
設(shè)異面直線AE和CF所成的角為θ，正四面體棱長為1，
則$AE=CF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$EF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∵cosθ=cos∠AEF•cos∠EFC，
∴cosθ=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}×\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$．
故直線AE和CF所成的角的余弦值為$\frac{2}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查正四面體、線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．