Question

3．在三棱錐A-BCD中，E、F分別是AB，CD的中點(diǎn)，若AD=BC=2，AD與BC所成的角為θ，EF=$\sqrt{3}$，則sinθ=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 取BD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，則EG∥AD，F(xiàn)G∥BC，從而∠EGF是θ（或θ的補(bǔ)角），由此利用余弦定理能求出sinθ．

解答 解：如圖，取BD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，
∵E、F分別是AB，CD的中點(diǎn)，
∴EG∥AD，F(xiàn)G∥BC，
∵AD=BC=2，AD與BC所成的角為θ，EF=$\sqrt{3}$，
∴∠EGF是θ（或θ的補(bǔ)角），
∴在△EFG中，EG=FG=1，EF=$\sqrt{3}$，
∴cos∠EGF=$\frac{E{G}^{2}+F{G}^{2}-E{F}^{2}}{2EG•FG}$=$\frac{1+1-3}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的正弦值、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．