Question

20．設(shè)n≥2，n∈N^*，有序數(shù)組（a₁，a₂，…，a_n）經(jīng)m次變換后得到數(shù)組（b_m，1，b_m，2，…，b_m，n），其中b_1，i=a_i+a_i+1，b_m，i=b_m-1，i+b_m-1，i+1（i=1，2，…，n），a_n+1=a₁，b_m-1，n+1=b_m-1，1（m≥2）．例如：有序數(shù)組（1，2，3）經(jīng)1次變換后得到數(shù)組（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；經(jīng)第2次變換后得到數(shù)組（8，9，7）．
（1）若a_i=i（i=1，2，…，n），求b_3，5的值；
（2）求證：b_m，i=$\sum_{j=0}^{m}$a_i+jC_m^j，其中i=1，2，…，n．
（注：i+j=kn+t時(shí)，k∈N^*，i=1，2，…，n，則a_i+j=a₁）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)新定義，分別進(jìn)行1次，2次，3次變化，即可求出答案，
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）依題意（1，2，3，4，5，6，7，8，…，n），
第一次變換為（3，5，7，9，11，13，15，…，n+1），
第二次變換為（8，12，16，20，24，28，…，n+4），
第三次變換為（20，28，36，44，52，…，n+12），
∴b_3，5=52，
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)m∈N^*，b_m，i=$\sum_{j=0}^{m}$a_i+jC_m^j，其中i=1，2，…，n，
（i）當(dāng)m=1時(shí)，b_1，i=$\sum_{i=0}^{1}$a_i+jC₁^j，其中i=1，2，…，n，結(jié)論成立，
（ii）假設(shè)m=k時(shí)，k∈N^*時(shí)，b_k，i=$\sum_{j=0}^{k}$a_i+jC_k^j，其中i=1，2，…，n，
則m=k+1時(shí)，b_k+1，i=b_k，i+b_k，i+1=$\sum_{j=0}^{k}$a_i+jC_k^j+$\sum_{j=0}^{k}$a_i+j+1C_k^j=$\sum_{j=0}^{k}$a_i+jC_k^j+$\sum_{j=0}^{k+1}$a_i+j+1C_k^j-1，
=a_iC_k⁰+$\sum_{j=0}^{k}$a_i+j（C_k^j+C_k^j-1）+a_i+k+1C_k^k，
=a_iC_k+1⁰+$\sum_{j=0}^{k}$a_i+jC_k+1^j+a_i+k+1C_k+1^k+1，
=$\sum_{j=0}^{k+1}$a_i+jC_k+1^j，
所以結(jié)論對(duì)m=k+1時(shí)也成立，
由（i）（ii）可知，對(duì)m∈N^*，b_m，i=$\sum_{j=0}^{m}$a_i+jC_m^j，其中i=1，2，…，n成立

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義和數(shù)學(xué)歸納法，考查了學(xué)生的解決問題和分析問題的能力，屬于難題．