已知平面直角坐標(biāo)系xoy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A（1，
1
2
）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）過(guò)原點(diǎn)O的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值，并求此時(shí)直線BC的方程．
解；（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，c為半焦距．
∵右頂點(diǎn)為D（2，0），左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，
∴a=2，c=
3
，b2=a2-c2=22-(
3
)2=1．
∴該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），線段PA的中點(diǎn)M（x，y）．
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得
x=
x0+1
2
y=
y0+
1
2
2
，解得
x0=2x-1
y0=2y-
1
2
．（*）
∵點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，∴
x20
4
+
y20
=1．
把（*）代入上式可得
(2x-1)2
4
+(2y-
1
2
)2=1，可化為(x-
1
2
)2+
(y-
1
4
)2
1
4
=1．
即線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程為一焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(x-
1
2
)2+
(y-
1
4
)2
1
4
=1．
（3）①當(dāng)直線BC的斜率不存在時(shí)，可得B（0，-1），C（0，1）．
∴|BC|=2，點(diǎn)A(1，
1
2
)到y(tǒng)軸的距離為1，∴S△ABC=
1
2
×2×1=1；
②當(dāng)直線BC的斜率存在時(shí)，設(shè)直線BC的方程為y=kx，B（x1，y1），C（-x1，-y1）（x1＜0）．
聯(lián)立
y=kx
x2+4y2=4
，化為（1+4k2）x2=4．解得x1=-
2
1+4k2
，
∴y1=-
2k
1+4k2
．
∴|BC|=
4
x21
+4
y21
=2
(-
2
1+4k2
)2+(-
2k
1+4k2
)2
=
4
1+k2
1+4k2
．
又點(diǎn)A到直線BC的距離d=
|k-
1
2
|
1+k2
．
∴S△ABC=
1
2
|BC|×d=
1
2
×
4
1+k2
1+4k2
|k-
1
2
|
1+k2
=
|2k-1|
1+4k2
，
∴
S2△ABC
=
(2k-1)2
1+4k2
=1-
4k
1+4k2
，
令f（k）=
4k
1+4k2
，則f′(k)=
-16(k+
1
2
)(k-
1
2
)
(1+4k2)2
．
令f′（k）=0，解得k=±
1
2
．列表如下：

又由表格可知：當(dāng)k=-
1
2
時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，即
S2△ABC
取得最大值2，即S△ABC=
2
．
而當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0，
S2△ABC
→1．
綜上可得：當(dāng)k=-
1
2
時(shí)，△ABC的面積取得最大值
2
，即S△ABC=
2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分16分）已知F1（－c,0）, F2（c,0） (c＞0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓M的方程是．
（1）若P是圓M上的任意一點(diǎn)，求證：是定值；
（2）若橢圓經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)Q，且cos∠F1QF2=，求橢圓的離心率；
（3）在（2）的條件下，若|OQ|=，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓Q：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0），過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡H的方程．
（2）在Q的方程中，令a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤
π
2
），確定q的值，使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)，此時(shí)，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形ABD的面積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，A（-1，0），B（1，0），過(guò)曲線C1：y=x2-1（|x|≥1）上一點(diǎn)M的切線l，與曲線C2：y=-
m(1-x2)
(|x|＜1)也相切于點(diǎn)N，記點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t（t＞1）．
（1）用t表示m的值和點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，∠MAB=∠NAB？并求此時(shí)MN所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：x2+
y2
m
=1的焦點(diǎn)在y軸上，且離心率為
3
2
．過(guò)點(diǎn)M（0，3）的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足
OA
+
OB
=λ
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|
PA
|-|
PB
|＜
3
時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)為橢圓
x2
3
+
y2
2
=1的右焦點(diǎn)F．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，求P到直線y=x+3的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（2，0），且離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)N（
2
，0）且斜率為
6
3
的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求證：
OA
•
OB
=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且離心率為
3
2
．
（1）若過(guò)F1的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，且
PF1
=3
F1Q
，求直線PQ的斜率；
（2）若橢圓E過(guò)點(diǎn)（0，1），且過(guò)F1作兩條互相垂直的直線，它們分別交橢圓E于A，C和B，D，求四邊形ABCD面積的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F．橢圓Σ的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=
1
2
，并以F為一個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求橢圓Σ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A1A2是橢圓Σ的長(zhǎng)軸（A1在A2的左側(cè)），P是拋物線C在第一象限的一點(diǎn)，過(guò)P作拋物線C的切線，若切線經(jīng)過(guò)A1，求證：tan∠A1PA2=
2
．

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