Question

已知：圓C：x²+y²-2y-4=0，直線l：mx-y+1=m．
（1）求證：對于任意的m∈R，直線l與圓C恒有兩個不同的交點；
（2）若直線l與圓C交于A、B兩點，|AB|=

17

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：常規(guī)題型,直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線是過圓內(nèi)的一個定點的直線證明直線l與圓C恒有兩個不同的交點；
（2）根據(jù)弦長和半徑求出弦心距，然后利用點到直線的距離公式構(gòu)建關(guān)于m的方程．

解答： 解：（1）直線l：mx-y+1=m的方程可化為m（x-1）-y+1=0
∴直線l過定點（1，1），
圓C：x²+y²-2y-4=0的方程可化為：x²+（y-1）²=5
∴點（1，1）在圓內(nèi)
所以直線與圓恒有兩個交點．
（2）∵|AB|=

17

，r=

5

∴圓心到直線l的距離為：d=

5- 17 4

=

3

2

∴

|-1+1-m|

m2+1

=

3

2

解得：m=±

3

．

點評：解決第（1）問的關(guān)鍵是把直線與圓的問題轉(zhuǎn)化為直線過的定點與圓的位置關(guān)系問題；第（2）問關(guān)鍵是利用弦長的一半，半徑和弦心距構(gòu)成的直角三解形求出弦心距..