Question

（本小題只理科做，滿分14分）如圖,已知平面,,△是正三角形,,且是的中點.

（1）求證:平面;

（2）求證:平面平面;

（3）求平面與平面所成銳二面角的大小.

 

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）取CE中點P，連接FP、BP，根據(jù)中位線定理可知FP||DE，且且FP=，而AB||DE，且AB=則ABPF為平行四邊形，則AF||BP，AF平面BCE，BP?平面BCE，滿足線面平行的判定定理，從而證得結論；

（2）根據(jù)AB平面ACD，DE||AB，則DE平面ACD，又AF?平面ACD，根據(jù)線面垂直的性質可知，滿足線面垂直的判定定理，證得AF平面CDE，又BP||AF，則BP平面CDE，BP平面BCE，根據(jù)面面垂直的判定定理可證得結論；

（3）由（2），以F為坐標原點，F(xiàn)A，F(xiàn)D，F(xiàn)P所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系F﹣xyz．設AC=2，根據(jù)線面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）為平面ACD的法向量，設平面BCE與平面ACD所成銳二面角為α，根據(jù)可求出所求．

試題解析：（1）解:取CE中點P,連結FP、BP,
∵F為CD的中點,∴FP||DE,且FP=
又AB||DE,且AB=∴AB||FP,且AB=FP,
∴ABPF為平行四邊形,∴AF||BP
又∵平面BCE,BP平面BCE,
∴AF||平面BCE
（2）∵△ACD為正三角形,∴.
∵AB平面ACD,DE||AB,
∴DE平面ACD,又AF平面ACD,
∴DEAF.又AFCD,CD∩DE=D,
∴AF平面CDE
又BP||AF,∴BP平面CDE.又∵BP平面BCE,
∴平面BCE⊥平面CDE
（3）法一、由（2）,以F為坐標原點,
FA,FD,FP所在的直線分別為x,y,z軸（如圖）,

建立空間直角坐標系F—xyz.設AC=2,
則C（0,—1,0）,

設為平面BCE的法向量，
，令n=1,則
顯然,為平面ACD的法向量.
設面BCE與面ACD所成銳二面角為
則.
即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為
法二、延長EB、DA,設EB、DA交于一點O,連結CO.
則面面.
由AB是的中位線,則.
在中, .
,又.
面而CE面ECD,

在中，
即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為.

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．