Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：
①對任意x，y∈R，都有：f（x+y）=f（x）+f（y）-1；
②當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）-1的奇偶性；
（Ⅱ）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若不等式f（a²-2a-7）+

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＞0的解集為{a|-2＜a＜4}，求f（5）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）令y=-x，f（0）=f（x）+f（-x）-1x=y=0得f（0）=1，再由函數(shù)奇偶性的定義驗(yàn)證f（-x）-1與-[f（x）-1]的關(guān)系，即可；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，求f（x₂）-f（x₁）的差的符號，有定義法判斷出單調(diào)性；
（Ⅲ）由題設(shè)，將f(a2-2-7)＞-

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=f(m)，再由單調(diào)性得出不等式，求出參數(shù)，再求函數(shù)值．

解答： 解：（Ⅰ）令y=-x，f（0）=f（x）+f（-x）-1x=y=0得f（0）=1
即f（-x）-1=-[f（x）-1]，
∴f（x）-1是奇函數(shù)．…（4分）
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1
又x₁-x₂＜0．則f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁-x₂）-1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0
即：f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在（-∞，∞）上單調(diào)遞減．…（9分）
（Ⅲ）f(a2-2-7)＞-

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=f(m)由（Ⅱ）知：a²-2a-7＜m的解集為（-2，4），
∴m=1．即：f(1)=-

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．
∴f（2）=-2f（4）=-5f(5)=f(4)+f(1)-1=-

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…（14分）

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，此類題根據(jù)題設(shè)與所要解決的問題，對變量進(jìn)行賦值，是常用的思路．