Question

已知函數(shù)f（x）=a+bsin2x+ccos2x的圖象過A（0，1），B（

π

4

，1），且當(dāng)x∈[0，

π

4

]時f（x）取得最大值2

2

-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象按向量

a

=(m，n)(|m|＜

π

2

)平移后，得到一個奇函數(shù)的圖象，求向量

a

．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得a=1-b，c=b，從而知f（x）=1-b+

2

bsin（2x+

π

4

），再利用f（x）的單調(diào)性求得其在[0，

π

4

]上的最值，即可求得b的值，繼而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換及函數(shù)的奇偶性即可求得向量

a

．

解答：解：（1）∵f（0）=a+c=1，
∴a=1-c；
又f（

π

4

）=a+bsin

π

2

+cos

π

2

=a+b=1，
∴a=1-b；
∴1-c=1-b，即b=c．
∴f（x）=1-b+

2

bsin（2x+

π

4

），
∵x∈[0，

π

4

]，
∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴1≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

，
∴當(dāng)b≥0時，f（x）_max=（

2

-1）b+1=2

2

-1，解得b=2；
當(dāng)b＜0時，f（x）_max=1-b+b=1，不符合題意，
綜上所述，b=2．
∴f（x）=2

2

sin（2x+

π

4

）-1
（2）將函數(shù)f（x）的圖象按向量

a

=（m，n），（|m|＜

π

2

），得y=2

2

sin[2（x-m）+

π

4

]+n-1，
∵y=2

2

sin[2（x-m）+

π

4

]+n-1為奇函數(shù)，
∴-2m+

π

4

=kπ（k∈Z）且n-1=0，又|m|＜

π

2

，
∴m=

π

8

，n=1，
∴

a

=（

π

8

，1）．

點評：本題考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換及正弦函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．