Question

【題目】已知函數(shù)（），數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）設數(shù)列滿足（），且中任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，求的取值范圍；

（3）設數(shù)列滿足（），求的前項和.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3），.

【解析】

（1）等式兩邊同時減去1，得，從而2，由此能證明數(shù)列{}是以2為公差，1為首項的等差數(shù)列．

（2）由（1）可得數(shù)列{}的通項公式，得到{}遞增，將問題轉(zhuǎn)化為+＞，解出即可．

（3）利用等差數(shù)列等比數(shù)列求和公式對n分奇偶分別求和．

（1）∵，

等式兩邊同時減去1，得，

∴2，

∴2，又，即

又1，

∴數(shù)列{}是以2為公差，1為首項的等差數(shù)列．

（2）由（1）知數(shù)列{}是以2為公差，1為首項的等差數(shù)列，

∴1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，

∴cn＝．

因為k＞1，顯然{}遞增，

由中任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，得+＞，即+＞

解得．又k＞1，

∴．

（3）∵，

∴當n為偶數(shù)時，==，

∵當n為奇數(shù)時，n為偶數(shù)，

∴．

綜上：

，